Systemet med ulikheter er en løsning. System av lineære ulikheter

Ulikheter og ulikhet er en aven som undervises i videregående skole i algebra. Med hensyn til kompleksitet er det ikke vanskeligst, siden det har ukompliserte regler (om dem litt senere). Som regel lærer skolebarn løsningen av ulikhetssystemer ganske enkelt. Dette skyldes også at lærerne bare "trener" sine studenter på dette emnet. Og de kan ikke mislykkes med å gjøre dette, fordi det blir studert videre med bruk av andre matematiske mengder, og kontrolleres også for OGE og Unified State Exam. I skole lærebøker beskrives emnet ulikheter og ulikhetssystemer i stor detalj, derfor hvis du skal studere det, er det best å ty til dem. Denne artikkelen forteller kun gode materialer, og det kan være noen utelatelser.

Begrepet ulikhet

Hvis du vender deg til det vitenskapelige språket, kan du giDefinisjon av begrepet "ulikhetssystem". Dette er en matematisk modell som representerer flere ulikheter. Denne modellen krever selvsagt en løsning, og i sin kvalitet vil det være det generelle svaret for alle ulikheter i systemet som foreslås i oppgaven (vanligvis er det skrevet der, for eksempel: "Løs system med ulikheter 4 x + 1> 2 og 30 - x > 6 ... "). Men før du går videre til typer og metoder for løsninger, må du finne ut noe annet.

Inequality Systems and Equations

I ferd med å lære et nytt emne veldig ofteMisforståelser oppstår. På den ene siden er alt klart, og jeg vil helst begynne å løse oppgaver, og på den annen side forblir noen øyeblikk i "skyggen", de er ikke helt godt forstått. Også noen kunnskapselementer som allerede er oppnådd, kan bli sammenvevd med nye. Som et resultat av dette "overlegg" oppstår ofte feil.

Derfor, før du fortsetter med analysen av vårtemaer, det bør huskes om forskjellene i likninger og ulikheter, deres systemer. For å gjøre dette, er det nødvendig å klargjøre igjen hva de oppgitte matematiske konseptene er. En ligning er alltid likestilling, og den er alltid lik noe (i matematikk er dette ordet betegnet med tegnet "="). Ulikhet er en modell der en mengde er enten større eller mindre enn den andre, eller inneholder setningen om at de ikke er de samme. I det første tilfellet er det derfor hensiktsmessig å snakke om likestilling, og i det andre, uansett hvor åpenbart det kan høres ut fra selve navnet, om ulikheten til de opprinnelige dataene. Systemer av ligninger og ulikheter fra hverandre er praktisk talt de samme, og metodene for å løse dem er de samme. Den eneste forskjellen er at i det første tilfellet benyttes likheter, og i det andre blir ulikheter anvendt.

Typer av ulikheter

Det er to typer ulikheter: numerisk og med ukjent variabel. Den første typen representerer de oppgitte verdiene (tall) som er ulik for hverandre, for eksempel 8> 10. Den andre er ulikheter som inneholder en ukjent variabel (betegnet med et bokstav i det latinske alfabetet, oftest X). Denne variabelen krever beliggenheten. Avhengig av hvor mange er det i den matematiske modellen er det ulikheter med ett (utgjør et system med ulikheter med en variabel) eller flere variabler (utgjør et system med ulikheter med flere variabler).

De to siste artene i henhold til deres konstruksjonsgrad ogNivået på kompleksiteten til løsningen er delt inn i enkel og kompleks. Enkel kalles også lineære ulikheter. De er i sin tur delt inn i streng og lax. Strikt spesifikt "si" at en verdi må nødvendigvis være enten mindre eller mer, så dette er ren ulikhet. Det finnes flere eksempler: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5 osv. Ustrikkede er også likestilling. Det vil si at en verdi kan være større enn eller lik en annen verdi (tegn "≥") eller mindre eller lik en annen verdi (tegn "≤"). Selv i lineære ulikheter, er variabelen ikke i roten, i torget er den ikke delt inn i noe, på grunn av hva de kalles "enkle". Komplekse de inkluderer ukjente variabler, hvorav funnet som krever å utføre mer matematiske operasjoner. De er ofte plassert i en firkant, en terning eller under roten, kan være modulære, logaritmiske, fraksjonelle osv. Men siden vår oppgave er å forstå løsningen av ulikhetssystemer, vil vi snakke om systemet med lineære ulikheter. Imidlertid bør det føres noen ord om deres egenskaper.

Ulikhet egenskaper

Egenskapene av ulikheter inkluderer følgende bestemmelser:

1. Ulikhetstegnet reverseres hvis en operasjon brukes til å endre følgende sider (for eksempel hvis t₁ ≤ t₂så t₂ ≥ t₁).
2. Begge delene av ulikheten tillater en å legge til samme nummer til seg selv (for eksempel hvis t₁ ≤ t₂så t₁ + tall ≤ t₂ + nummer).
3. To eller flere ulikheter med tegnet av samme retning, lar deg legge til venstre og høyre deler (for eksempel hvis t₁ ≥ t₂, t₃ ≥ t₄så t₁ + t₃ ≥ t₂ + t₄).
4. Begge delene av ulikheten tillater seg å bli multiplisert eller delt med det samme positive tallet (for eksempel hvis t₁ ≤ t₂ og tallet ≤ 0, deretter tallet · t₁ ≥ tallet · t₂).
5. To eller flere ulikheter med positive termer og et tegn på en retning tillater en å multiplisere hverandre (for eksempel hvis t₁ ≤ t₂, t₃ ≤ t₄, t₁, t₂, t₃, t₄ ≥ 0 deretter t₁ · T₃ ≤ t₂ · T₄).
6. Begge delene av ulikheten tillater seg å bli multiplisert eller delt med det samme negative tallet, men ulikheten endres (for eksempel hvis t₁ ≤ t₂ og tallet ≤ 0, deretter tallet · t₁ ≥ tallet · t₂).
7. Alle ulikheter har egenskapen til transitivitet (for eksempel hvis t₁ ≤ t₂ og t₂ ≤ t₃så t₁ ≤ t₃).

Nå, etter å ha studert de grunnleggende prinsippene i teorien om ulikheter, kan vi fortsette direkte til hensynet til reglene for å løse sine systemer.

Løse ulikhetssystemer. Generell informasjon. måter å løse

Som nevnt ovenfor er avgjørelsenvariable verdier som passer til alle ulikheter i et gitt system. Løsningen av ulikhetssystemer er implementeringen av matematiske operasjoner som til slutt fører til løsningen av hele systemet eller bevise at det ikke har noen løsninger. I dette tilfellet er det sagt at variabelen refererer til et tomt numerisk sett (skrevet som: variabelt brev ∈ (tegn "tilhører") ø (logg "tomtsett "), for eksempel x ∈ ø (leser slik:" Variabel "X tilhører det tomme settet"). Det er flere måter å løse ulikhetssystemer på: grafisk, algebraisk, substitusjon. Det skal bemerkes at de er Har flere ukjente variabler. I tilfelle når det bare er en, vil intervallmetoden gjøre.

Grafisk måte

Lar deg løse et system med ulikheter med flereukjente verdier (fra to og over). Takket være denne metoden løses systemet med lineære ulikheter ganske enkelt og raskt, så det er den vanligste metoden. Dette skyldes at plotting reduserer mengden av skrive matematiske operasjoner. Spesielt blir det hyggelig å komme vekk fra pennen litt, hente en blyant med en linjal og fortsette til ytterligere handlinger med deres hjelp, når mye arbeid er gjort og du vil ha et lite utvalg. Imidlertid misliker noen mennesker denne metoden på grunn av at de må bryte seg bort fra oppgaven og bytte sin mentale aktivitet til tegning. Dette er imidlertid en veldig effektiv måte.

Å løse ulikhetssystemet medVed hjelp av den grafiske metoden er det nødvendig å overføre alle medlemmer av hver ulikhet til venstre side. Skiltene vil bli reversert, høyre skal skrives ned null, da må du skrive ned hver ulikhet separat. Som et resultat resulterer ulikhetene i funksjoner. Etter det kan du få en blyant og en linjal: nå må du tegne en graf av hver oppnådd funksjon. Hele settet av tall, som vil være i intervallet av deres kryss, vil være en løsning på ulikhetssystemet.

Algebraisk metode

Lar deg løse et system med ulikheter med toukjente variabler. Også ulikhetene må ha samme ulikhetstegn (dvs. de må inneholde enten bare "mer" tegn, eller bare "mindre" tegn osv.) Til tross for begrensningene er denne metoden også mer kompleks. Den brukes i to trinn.

Den første inkluderer handlingen for å bli kvitten av de ukjente variablene. Først må du velge det, og deretter sjekke om det finnes tall foran denne variabelen. Hvis det ikke finnes noen (da vil variabelen se ut som et enkelt brev), da endrer vi ikke noe, hvis det er (typen av variabel vil for eksempel være 5y eller 12y), så er det nødvendig å sørge for at tallet før den valgte variabelen i hver ulikhet er det samme. For å gjøre dette, multipliserer hvert medlem av ulikhetene med en felles faktor, for eksempel hvis 3y er skrevet i den første ulikheten og 5y i den andre, må alle medlemmer av den første ulikheten multipliseres med 5 og den andre ved 3. Det vil vise seg henholdsvis 15 og 15 år.

Den andre fasen av beslutningen. Det er nødvendig å overføre venstre del av hver ulikhet til deres høyre deler med en endring i tegnet til hvert medlem til motsatt, skriv ned til høyre. Deretter kommer den mest interessante tingen: å bli kvitt den valgte varianten (ellers kalles dette "reduksjon") under folding av ulikheter. Det viser seg ulikheten med en variabel som må løses. Etter dette bør du gjøre det samme, bare med en annen ukjent variabel. Resultatene blir løsningen på systemet.

Substitusjonsmetode

Lar deg løse et system av ulikheter i nærvær avevnen til å introdusere en ny variabel. Vanligvis brukes denne metoden når en ukjent variabel i ett ulikhetsmedlem økes til fjerde kraft, og i det andre medlemmet har en firkant. Dermed er denne metoden rettet mot å redusere graden av ulikheter i systemet. Eksempel x Ulikhet⁴ - x² - 1 ≤ 0 på denne måten løses som følger. En ny variabel er introdusert, for eksempel t. De skriver: "La t = x²", så er modellen omskrevet i en ny form. I vårt tilfelle får vi t² - t - 1 ≤0. Denne ulikheten må løses ved hjelp av intervallmetoden (om det litt senere), deretter tilbake til variabelen X, så gjør det samme med en annen ulikhet. De mottatte svarene vil være løsningen av systemet.

Spacing metode

Dette er den enkleste måten å løse systemer på.ulikheter, og samtidig er det universelt og vanlig. Den brukes i videregående skole, og til og med høyere. Dens kjernen ligger i det faktum at studenten ser etter ulikhetsspalter på nummerlinjen, som er tegnet i en notisbok (dette er ikke en graf, men bare en vanlig rett linje med tall). Hvor hullene i ulikheter krysser, er løsningen av systemet funnet. For å bruke intervallmetoden må du utføre følgende trinn:

1. Alle medlemmer av hver ulikhet overføres til venstre med en skiftende skilt til motsatt (null er skrevet til høyre).
2. Ujevnheter er skrevet ut separat, beslutningen av hver av dem er bestemt.
3. Det er kryss av ulikheter på nummerlinjen. Alle tall på disse kryssene vil være løsningen.

Hva er måten å bruke på?

Åpenbart den som synes enkleste ogpraktisk, men det er tilfeller hvor oppgaver krever en bestemt metode. Ofte sier de at det er nødvendig å løse enten ved hjelp av en graf eller med metoden med intervaller. Den algebraiske metoden og substitusjonen brukes ekstremt sjelden eller ikke, fordi de er ganske kompliserte og kompliserte, og i tillegg er det mer vant til å løse likestillingssystemer, i stedet for ulikheter, så du bør ty til tegning av grafer og intervaller. De gir synlighet, som ikke kan bidra til effektiv og rask implementering av matematiske operasjoner.

Hvis noe ikke virker

Mens du studerer et tema på algebra,Det kan naturligvis være problemer med hennes forståelse. Og dette er normalt, fordi hjernen vår er utformet slik at den ikke kan forstå det komplekse materialet om gangen. Ofte er det nødvendig å re-lese et avsnitt, bruke hjelp fra en lærer eller praksis til å løse typiske oppgaver. I vårt tilfelle ser de for eksempel slik ut: "Løs system med ulikheter 3 x + 1 ≥ 0 og 2 x - 1> 3". På denne måten, personlig ambisjon, hjelp fra utenforstående og øve hjelp til å forstå noe komplekst emne.

Reshebnik?

Og en veldig god Reshebnik, men ikkefor å snyte lekser, og for selvhjelp. I dem kan du finne et system med ulikheter med løsningen, se på dem (som maler), prøv å forstå nøyaktig hvordan forfatteren av løsningen klarte oppgaven, og prøv deretter å gjøre dette i en uavhengig rekkefølge.

funn

Algebra er en av de vanskeligste fagene iskolen. Vel, hva kan du gjøre? Matematikk har alltid vært slik: Det er gitt til noen enkelt, men til noen med vanskeligheter. Men i alle fall bør det huskes at den generelle utdanningen er utformet slik at enhver student kan takle det. I tillegg må vi huske på et stort antall assistenter. Noen av dem har blitt nevnt ovenfor.

</ p>>